탄젠트 공간 개념

1. 탄젠트 공간이란?

우리 지구본이 있다고 하자. 그리고 이 지구본을 쫙 펼쳐 지도를 만들었다고 하자. 그런데 갑지가 다시 지구본이 필요해져 지도를 다시 지구본으로 만들어야 한다고 하자. 이 경우 우리는 어떻게 하면 지구본을 다시 만들 수 있을까?

비록 완벽하게 대응되는 것은 아니지만 위의예가 탄젠트 공간이 필요한 이유를 가장 잘 설명해 줄 수 있다. 만약 우리가 어떠한 3차원 물체를 2차원 평면으로 만들었다면, 우리는 이 2차원 평면을 바탕으로 3차원의 물체를 절대로 만들 수 없다. 하지만 3차원 물체를 2차원 평면으로 변환할때, 2차원 평면의 각 점에 그것이 3차원에서 가졌던 어떠한 정보를 저장해 두었다면 어떠한가? 이 경우 우리는 어떻게든 2차원 평면을 다시 3차원 물체로 복원할 수 있게 될 것이다. 여기서 말하는 어떠한 정보가 바로 탄젠트 space이다.

2. 탄젠트 공간의 정의

3차원 공간의 탄젠트 공간은 다음의 세 벡터를 축으로 하는 공간이다.

1) 한 점의 법선 벡터

2) 한 점의 접선(탄젠트) 벡터

3) 바이노멀 벡터 : 법선 벡터와 접선 벡터를 외적하면 구해지는 벡터

일반적으로 tangent space는 원래의 공간과 같은 차원을 가지며, 한 점에서 생성 가능한 모든 접선 벡터를 포함한다. 가령 위 그림의 경우, 접선 벡터와 바이노멀 벡터가 생성하는 평면은 가능한 모든 접선 벡터를 포함한다. 여기서 주의할 점은 tangent space의 개념은 비단 3차원 공간만이아닌 임의의 차원의 공간에 대해서도 적용될 수 있다는 점이다.

3. 탄젠트 번들

또한 모든 tangent space들은 2배의 dimension을 갖는 새로운 공간을 생성하기 위해 서로 붙여질 수 있는데(“glued together”), 이를 가능하게 해주는 것이 바로 tangent bundle의 개념이다. 이에대한 개념은 형태학 및 manifold등의 개념을 이해하여야 하므로 자세한 설명은 생략 하기로 한다.

4. 왜 사인, 코사인이 아닌 탄젠트를 이용하는가?

한점의 기울기를 가장 직관적으로 구할 수 있는 것이 다름아닌 탄젠트 이기 때문이다.

가령, 우리가 한 점의 기울기를 구해야 한다고 하자. 우리는 일반적으로 먼저 한 점의 접선을 빗변으로 하는 직각 삼각형을 생성하여야 하고, 그 직각 삼각형의 '높이/밑변' 으로 기울기를 구해주게 된다. 그런데 이 기울기는 바로 직각 삼각형의 빗변에 대응하는 각도의 탄젠트 값이다. 즉 탄젠트(빗변의 대응각)가 곧 기울기란 말이다. 때문에 한점의 기울기가 탄젠트라 불리기도 하는 것이다.