3D 동차 좌표계

3D에서의 필요한 벡터는 기본적으로 3차원좌표계이다.
이것을 4차원 좌표계로 확장하는데 추가되는 개념이 바로 동차 좌표계이다.

동차좌표는 결국은 4x4 행렬과의 연산 때문에 필요하다.
이동,크기,회전을 모두 담은 행렬은 최소 4x4 행렬일 수밖에 없다.
이 행렬과 정상적인 연산을 하기 위해서는 '벡터도 행렬' 이므로 1x4 또는 4x1형태를 맞춰줘야 한다.
그렇다면 처음부터 끝까지 동차좌표계가 1이면 된다.
게다가 당연히 1이라는 표시만 해주면 되는 기호는 생략 가능한데 굳이 따라다니는 아래와같다.

동차좌표는 방향과 점의 구분시켜준다.
x,y,z(DirextX는 D3DXVECTOR3)의 형태의 3차원 좌표계 구조체는 이게 점인지 방향인지 구분이 모호하기 때문에 동차 좌표계가 포함된 4차원좌표계로 표시하게 되면(0은 방향,1은 위치) 좀 더 그 의미가 확실해진다.

┌ 1 , 0 , 0 , 0 ┐ - x축 벡터
│ 0 , 1 , 0 , 0 │ - y축 벡터
│ 0 , 0 , 1 , 0 │ - z축 벡터
└ 0 , 0 , 0 , 1 ┘ - 이동관련 벡터

각 4개의 동차좌표계를 포함한 벡터(1x4행렬)에서 각 벡터의 동차항은 0,1로 이루어져있다.

0은 방향을 의미하는 벡터로써 위치,방향으로서 서로 다른 벡터인지 구분 가능하다.
(방향벡터가 방향이 같고 위치가 다르다라는 것은 확대 또는 축소인 상태이다.)
1은 위치를 의미하는 벡터로써 위치가 서로 다른 벡터인지 구분가능하다.

그러므로,
0의 동차항을 가지고 있는 벡터는 확대,축소(크기변화),방향변경(방향변화) 가능하고
1의 동차항을 가지고 있는 벡터는 이동(위치변화)가 가능하다.

0의 동차항을 가지고 있는 벡터 1행~3행, 1의 동차항을 가지고 있는 벡터 4행

결국 동차좌표계가 0이면 방향변화,크기변화라고 표현 할 수 있지만 위치변화라고는 말할 수 없다.
동차좌표계가 1이면 위치변화 라고 표현할 수 있지만 방향이나 크기변화라고는 말할 수 없다.

동차좌표는 투영행렬과의 연산에서 특별한 의미를 가진다.
투영행렬은 3D차원의 공간을 2차원의 공간으로 변환시킨다.
그 과정에서 시점으로부터 보이는 점(vector)들의 위치가 중요한게 아니라 결국 시점으로부터의 방향이 중요하다게 된다.

type A는 투영행렬에 대한 이론을 간략하게 설명해 놓은 그림인데 우리가 결국 원하는 것은 3차원의 점들이 2차원인 빨간상자안에 모인 위치들인 것이다.
type B는 점들의 위치보다는 시점으로부터의 방향이 중요한 것이 무슨 말인지 이해하기 위한 그림이다.
위치가 서로 다른 3차원상의 점(vector) A(5,5,?), B(10,10,?), C(100,100,?)이라 생각해 보면 2차원에 투영되는 위치는 결국 하나가 되버린다.
(*z좌표를 ?로 표시한 이유는 정확한 수치로 넣을 경우 오해 소지가 생길 수도 있기 때문이다.)

DirextX기준으로 투영행렬의 마지막에는 카메라 행렬까지 반영한 z값을 가지고 3차원좌표 (a/z,b/z,c/z)의 형태를 가지게 되는데 이 과정을 (a,b,c,z)이렇게 대신함으로써 (a/z,b/z,c/z,1)로 마무리하게 하고 있다.

예를 들어 A의 동차 좌표계가 5이라면 B는 10, C는 100일 것이고 결국은 A,B,C는 같은 2차원 좌표인 (1,1)이라는 픽셀에 찍힐 것이다.

동차좌표라는 것은 마치 '지도의 축소비율'처럼 축소나 확대에 관한 비례개념처럼 보여지기도 하고 이 좌표가 1이 되서 완전한 위치의 형태(변환 끝)로 변형되었는지도 의미하게 된다.